如何进行无穷小的比较—波波教你学高数数学笔记-同济第七版高数（上)-之一章-函数与极限-极限运算法则

一、四则求导法则

设lim(x-x0)f(x)=A, lim(x-x0)g(x)=B, 则

ps此时引入一个概念

若lim(x-x0)f(x)=A，可认为f(x)=A+，-0 (x-x0)

意思是在x趋向于x0时，函数值等于一个常数加上一个无穷小，下面证明会用到

1、加减法lim(x-x0)[f(x)g(x)]=AB

证明

f(x)=A+,-0 (x-x0)

g(x)=B+,-0 (x-x0)

f(x)+g(x)=A+B++

由无穷小性质的值，(+)-0

f(x)+g(x)=A+B+，-0 (x-x0)

lim(x-x0)[f(x)+g(x)]=A+B (减法同理可证)

2、乘法

（1）若k为常数，lim(x-x0)kf(x)=kA

证明

f(x)=A+, -0(x-x0)

kf(x)=kA+k

由无穷小的性质(k)-0 (x-x0)

kf(x)=kA+,-0 (x-x0)

lim(x-x0)kf(x)=kA

（2）lim(x-x0)f(x)g(x)=AB

证明

f(x)=A+,-0 (x-x0)

g(x)=B+,-0 (x-x0)

f(x)g(x)=(A+)(B+)=AB+B+A+

由无穷小的性质(B+A+)-0 (x-x0)

f(x)g(x)=AB+, -0 (x-x0)

lim(x-x0)f(x)g(x)=AB

3、除法若lim(x-x0)g(x)=B0，则lim(x-x0)f(x)/g(x)=A/B

证明

f(x)=A+,-0 (x-x0)

g(x)=B+,-0 (x-x0)

f(x)/g(x)=(A+)/(B+)这样很难用到无穷小的性质证明f(x)/g(x)=A/B+...

所以证明f(x)/g(x)-A/B为无穷小比较方便

|f(x)/g(x)-A/B|=|(A+)/(B+)-A/B|

=|(B-A)/B(B+)|=|B-A|1/(|B||B+|)

|B-A|可由无穷小的性质证明还是无穷小

对于|B-A|

all 0

存在10

当0|x-x0|1, |B-A| (1)

对于1/(|B||B+|)

易证1/(|B||B+)2/(b^2) (2)

结合（1）（2）

all 0

存在0

当0|x-x0|时，||B-A|1/(|B||B+|)|

所以|B-A|1/(|B||B+|)为无穷小

所以|f(x)/g(x)-A/B|为无穷小

所以lim(x-x0)f(x)/g(x)=A/B

例1:lim(x-2)(3x^2-2x 3)

=lim(x-2)(3x^2)-lim(x-2)(2x)林(x-2)(3)

.

=11

例2:lim(x-1)[(x^2 x-2)/(x^2-1)]

=lim(x-1)(x^2 x-2)/lim(x^2-1)

.

=3/2

例3:lim(x-)[(2x^2-x 2)/(x^2 1)](分子分母同除以x^2)

=lim(x-)[(2-1/x 2/x^2)/(1 1/x^2)]

.

=2

例4:lim(x-)[(x^2 2x-1)/(x 1)]

=lim(x-)[(1 2/x-1/x^2)/(1/x 1/x^2)](分子是无穷小，不方便计算，改求原函数倒数)

lim(x-)[(1/x 1/x^2)/(1 2/x-1/x^2)]=0

由无穷小无穷大性质

lim(x-)[(x^2 2x-1)/(x ^ 1)]=

二、一元多次分数极限规律

P(x)=anx^n.a1x a0

Q(x)=bmx^m.b1x b0

（1）若n=m:lim(x-)P(x)/Q(x)=an/bm

（2）若nm:lim(x-)P(x)/Q(x)=

（3）若nm:lim(x-)P(x)/Q(x)=0

也就是说，对于一元多次分数的函数，只看分子分母更高次幂是多少。

三、复合函数极限

设y=f(u) u=g(x)

若lim(u-a)f(u)=A, lim(x-x0)g(x)=a

则lim(x-x0)f([g(x)])=A

证明

all 0

lim(u-a)f(u)=A

存在0

当0|u-a|时，|f(u)-A|

对于0

lim(x-x0)g(x)=a

存在0

当0|x-x0|时， |g(x)-a|

|f[g(x)]-A|

lim(x-x0)f([g(x)])=A

也就是说，在求极限时，lim可以移到函数的内部去，比如

lim(x-x0)[ln(x^2+1)]=ln[lim(x-x0)(x^2+1)]

高数同济版极限运算法则习题答案高数同济版极限运算法则习题答案