两个数导数的基本公式（简单数学公式证明系列2-2：导数的运算法

如何求函数的反函数 简单数学公式证明系列2-2导数的运算法则（下）

【本系列属于简单数学知识科普，适合有一定数学基础的高中生阅读，不严谨之处还望多多包涵，有错误之处还望指正】

讲复合函数、反函数求导之前我们先讲函数的连续性概念。当x在某一邻域的增量趋于0时，函数的增量也趋于0，则称在处是连续的，用符号写为若，则称在处连续。还有一种表示为若，则称在处连续。若在区间上每一点都是连续的，则称在该区间上是连续函数。

函数可导的定义为存在，我们设，其中为当时的无穷小（极限为0），则，两边取极限可得。意味着若在处可导，则在处一定连续。反之不成立，如函数在0处是连续的，但因在0处的左右导数不同，所以在0处是不可导的。

4、反函数求导

如果函数在区间内单调、可导且导数不为0，则它的反函数在区间内也可导，且

证先证反函数的连续性，因为可导，根据可导和连续性的关系可以得出在内连续。因在区间内单调，以单调递增为例，根据单调的等价性，，在内也是单调的。

对任意的，我们在区间内任取一点，

令

取为的最小值，当时，成立，即。根据单调性，，即，成立，根据极限的代数表示，证明了，所以在处连续。因为在区间内每一点都连续，可推出以在内每一点也都连续。

下面证明求导公式，根据单调性，，于是，因为连续，即，所以

5、复合函数求导

如果在点x可导，在点可导，则复合函数在点x可导，导数。

证，令，其中为当时的无穷小（极限为0），，两边除以，。

因为在点可导，则在点也是连续的，即，所以。

于是

，证毕。

16个基本导数公式运算法则 活用导数运算法则求导解题技巧