奥林匹克数学竞赛美国华人夺冠（一道有趣的美国数学竞赛题，稍不

美国高考数学题 一道有趣的美国数学竞赛题，稍不留意就掉入陷阱

这是美国AMC12数学竞赛的真题，题目很有趣，但不小心就容易做错。

题目农场主有块形状为直角三角形的土地，两条直角边的长度分别为3个单位和4个单位，在两条直角边相交形成直角的地方，他留了一小块正方形土地没有种植，如图所示，从斜边到正方形的最短距离为2个单位，问农场主整块土地的种植比例是多少？

分析美国的竞赛题有个特点，虽然难度一般不大，但往往题目描述比较新奇，和中国的竞赛题有点差异。

这题如果马虎了很容易做错。

错误的做法是这样的算出三角形斜边长为5，斜边上的高为12/5，则正方形的对角线长度就是12/5-2=2/5，从而算出正方形边长为2/5/√2，算得正方形面积为2/25，从而种植比例为（6-2/25）/6=74/75。

上面解法的错误在于误以为图中虚线和正方形的对角线在一条直线上。实际上并不是。

正确的做法如下

如图，过点D作AB、AC的平行线交AC于点E、F，过E作GE//BC，

则△AGE∽△EDF△ABC，

设正方形边长为x，则AG=3x/4，ED=3-x-3x/4

有三角形相似得ED/AB=2/(12/5)，带入数值解得

x=2/7，则正方形面积为4/49，

农场种植面积比为(6-4/49)/6=145/147。

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