与圆有关的数学史（圆的面积怎么算）

如何计算圆的面积作为一个数学故事的圆早期的数学史是一部圆的研究史。

圆的公式是我们小学之一个难懂的公式。今天白癜风网小编，我们都很熟悉圆的面积和周长的公式，但古人经过几代人的努力才找到这些公式。而这个历史性的问题，在波澜壮阔的数学史上，尤其是数学发展的早期，就像夜空中的一轮明月，指引着人类不断探索！直到今天白癜风网小编，相关问题仍然推动着数学的发展！

今天白癜风网小编，就让我们跟随先贤们的脚步，踏上这条充满乐趣和智慧的光明大道吧！

1.为什么是圆？

为什么人类对圆的研究情有独钟？这源于圈子很早就进入了人类的生产生活。无论是人类出土的旧石器时代和陶器时代的一些圆形器物，还是6000年前半坡人居住的圆顶屋。这些证据都表明，人类在早期就掌握了一定的画圆 。

这些 都是假设利用了我们常见的圆规，这也符合当时的生产水平一根绳子两个固定点就可以做一个简单的圆规。

随着人类生产力的提高，许多生产活动需要人类借助一定的工具来完成；而轮子的发明就是其中的代表之一。当人们运输重物时，使用轮子可以大大节省人力！众所周知，在两河流域，文明的重要标志之一就是他们学会了如何制造和使用轮子。

在生产力低下的古代，真正能抽出时间研究问题的人少之又少，能研究的问题又要求有一定的现实意义，这在此时的数学史上被称为“功利主义”。

在这种背景下，为了满足人类生产生活的实际需要，研究“相对抽象”的数学问题成为可能。此时，数学家需要解决的之一个问题就是能否求出圆的周长。

在 轮子时，人们需要知道一个已知直径的轮子需要多长的木头。正是因为对这个问题的探索，人类开始了千百年来寻求的征程，一直延续至今！

2.无穷无尽的求之旅

在长期的实践中，人们应该能够很容易地发现，圆的周长与圆的直径之比总是不变的。关于这个特征，人类可能早在古巴比伦就发现了。一个古巴比伦(约公元前1900-1600年)的泥板明确记载了圆周率=25/8=3.125。

期的古埃及文物Rhind数学纸莎草纸也表明圆周率等于分数16/9的平方，约为3.1605。对了，看到泥石版的时候，三体迷们有没有想到三体版里面提到的人类最久经考验的保存方式就是石雕！

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另一个较早的有据可考是欧几里得（Eulid，公元前330-275）在《几何原本》中提到圆面积与直径的关系。我国最早提到这一点的是成书于公元前1世纪的《周髀算经》，该书中记载了“圆经一而周三”的说法。而在稍晚的王莽代汉时期的国师刘歆（约公元前50年－公元23年），计算出圆周率为3.1547，世称“刘歆率”。

尽管对Π的认识很早，也能给出较为精确的值，但遗憾的是其中并没有记载科学的计算 。真正提供科学 的人，目前还是首推古希腊数学家阿基米德（Archimedes,公元前287-公元前212）。阿基米德利用内接n边形，外切n边形，内接2n边形，外切2n边形...的递推关系，通过大量的复杂的计算得出内接和外切的正96边形的周长，从而估算Π的值介于之间。这一 涉及到大量的计算，在两千多年前能够完成这样的工作，确实称得上伟大。

相对于阿基米德的复杂 ，中国优秀的数学家刘徽（约225年—约295年）所创造的割圆法，就显得更为巧妙，割圆法的不仅易于理解，而且很大程度上开辟了一条精确的计算圆周率的途径，当割到3072条边的时候已经将其精确到小数点后5位数字。虽然其晚于阿基米德近400年，但他的 更为简练，也超过了代的任何一位数学家。

继刘徽之后的约两百年，我国卓越的数学家祖冲之（429-500）进一步取得了更为精确的结果，根据他的计算圆周率介于疏率与密率之间（如图），成功的将Π值精确到了小数点后7位。据传其将这一 记录在《缀术》一书，遗憾的是该书早已失传，历代中国学者都倾心破解，但始终不得要领。尽管祖冲之之后的也有人研究圆周率，但遗憾的是再未见更有力的突破了，中国古代对Π的探索至此就止步不前了。

这些历史上光芒四射的数学家，都不约而同的提出了利用几何求出Π的 ；而在他们的工作基础上，依然有不少的数学家通过进一步的改良和计算得到了更为精确的Π值。其中代表性的数学家包括但不限于以下几位

阿尔·卡西（Al Kashi，？-1429或1436年），中世纪晚期 数学家。他也是被称为古代 数学的荣光。他的工作打破了祖冲之的记录，将Π值精确到了14位。

荷兰数学家鲁道夫（Ludoipn Van Ceulen,1540-1610），直接采用求正多边形周长或面积的办法，计算出Π的35位数，而这项工作也几乎将他拖垮。

代的荷兰数学家斯涅尔（Willebrord Snell，1591-1626）对古典 ，作了一种三角上的改进，只算到230边形，就得到了Π值后35位。

1630年，格林贝尔（Christoph Grienberger，生卒年不详）利用斯涅尔的改进 ，将圆周率计算到39位，这是几何 计算的尝试，也是用几何 的更高峰。

自此之后，随着代数学、三角函数、函数分析、微积分的发展，对Π的探索逐渐进入了分析法求Π的阶段。

1593年，法国著名的数学家韦达（Fran?ois Viète，1540－1603）（对你没听错，就是韦达定理的韦达），在仔细分析圆周率与内接正多边形的关系中，利用的就是三角函数的倍角公式，通过反复的迭代，发现了Π的无穷式。

这是人类之一次以无穷乘积叙述一个值，也是数学发展史上的重要里程碑，它开创了一条用解析式计算Π的道路，这一 计算繁琐，且精度不够。

1650年，英国数学家沃里斯（Waillis，161-1703）在解决单位圆面积问题时，借助于类比、归纳、和极限的 ，大胆而巧妙的利用一连串的复杂推理，终于在1655年得到尽管这一 所得，精确度不够，很大程度上开创了分析学求Π值，具有非常重要得历史意义

1669年，牛顿在他的《分析学》一书中，给出了arctanx的级数展开式，而1671年，格雷戈里（James Gregory，1638-1675）也公开了arctanx的级数展开式，并宣称在1668年就完成了这一工作，但其并没有意识到该展开式中，令x=1便能完成对Π的求解问题。1673年莱布尼兹也独立的发现了这一Π的表达式。这一 ，弊端也十分明显，对前300项的计算，也只有前2位是正确的，尽管如此，这一系列的成果，也开创用反正切函数算Π的先河，打开了一扇数学研究的新窗口。

1706年马青（John Machin，1680-1752），在继承前人的研究成果后，给出了后人称之为马青公式，这是利用反正切级数的线性组合求Π近似值最有效的公式，其计算结果精确到了小数点后100位。

沿着马青的脚步，1874年山克斯（Willam Shanks，1812-1882）将Π计算到707位，虽然75年后经过计算机核查，发现他将528位把5写成了4，但他的工作也将人工计算Π推向了顶峰。

1734年年仅27岁的大数学家欧拉，利用欧拉公式得到Π的计算式，相对于马青的 ，欧拉的 并不具有优势，但这一 的伟大之处并不在求Π，而在于其作为欧拉公式的特例，从侧面体现了欧拉公式的伟大。

1777年法国数学家蒲丰（1707-1788）设计了投针试验，开创了通过实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这一 就是后世大名鼎鼎的蒙特卡罗 。布丰实验再一次表明的在Π的探索之路上，人类往往能获得超越结果本身的成就！

正如德国数学家康托 （Cantor， 1845-1918）评价说“历史上一个国家所算的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标”。

事实上当前电子计算机的发明，圆周率的计算取得了突飞猛进的发展，人们目前已经取得了圆周率小数点后数以亿位，这一结果目前来看，实际意义已经不大，求Π目前只是用来作为测试计算机运行速度的常见手段。但在数学历史的长河中，人类走过的这段探索之路，带动的学科发展是无法估量的，我相信在未来的若干年后，它也还将散发新的神采！

3.圆的面积公式

在数学史上，圆的周长和圆的面积公式事实上是同步进行的，在古巴比伦泥板（S=(1/12C)2）和古埃及的纸草书上（S=（8/9d）2）就有关于圆的面积计算的记录。他们的记录都是经验值，准确率虽然低，能够满足当时丈量土地的生产生活。

提到求圆面积公式的科学推理的，还是欧几里得，他证明了圆面积之比等于直径平方之比；后世的学者卡瓦列（B. Cavalieri，1598-1647）利用同心圆更直观的展示了这一结论。

其后，阿基米德证明了圆面积等于直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形的面积。事实上在上文介绍求Π的内容中，如果我将内接和外切正多边形，以中心为顶点，切割成n个等底的三角形，并通过平移，上述结论不难得出。17世纪德国数学家开普勒（J. Kepler 1571-1630），利用无穷小的 ，进一步完善了上述理论。

而刘徽（约225年—约295年）所创造的割圆法，事实就是以面积法为基础的，在完成求Π的，面积的计算也就随之得到了。

在我们的教科书中，常采用平行四边形的 ，帮助大家理解圆的面积公式。这一 是以圆心为顶点，将圆划分为数个全等的扇形，相应数量的相等扇区之和便是圆的面积，无限划分扇形，沿某一扇形半径展开，将每个小扇形边上两点相接，把两个如此操作的圆拼在一起时就可以直观的得到一个圆的面积等于其周长与半径乘积之半。

关于圆的面积，我们听到最多的就是所谓的“化曲为值”的说法，而我们现在以上帝视角来看，这其实就是早期数学中对极限的使用，尽管未形成系统的理论，但对微积分的建立有十分重大的意义。

结束语

今天白癜风网小编我们可以用简单的积分推导出圆的相关公式，这是建立在数学家在漫长的枯燥工作基础之上的。这些工作，在当时生产力低下的时代背景下，显得非常的“虚”，但这就是科学发展的特点就像探索Π的历史，人类也许并不需要如此精确的值，但却在探索它的过程中，发展出新的理论，而这就是科学发展的源动力！

经常有人问，为什么我们中国拥有世界最悠久的历史，但没有孕育出现代科学？曾经听过一种观点我认为颇有道路，我们中华民族总是很“务实”，数学仅仅只是作为一件工具，而并没有当作科学来看待，我们在传承这一学科的历史中，缺乏了跳出这一框架，上升到理论“务虚”的阶段。

不久之前，顶级数学家丘成桐 回国，这无疑是对我国的数学发展一剂强心针，希望在新的时代，我们中国的数学能奋起直追，取得辉煌的成绩！

主要参考文献

1.Struik, D. J. A Source Book in Mathematics.[M] Priceton University Press,1986.

2.Carl. B. Boyer.秦传安译.《数学史》.[M] 中央编译出版社.

3.魏晓妮.历史上对圆周率的研究.山西师范大学学位论文.

4.陈季林.关于圆周率Π从阿基米德到刘徽、祖冲之.

5.孙炽甫.中国古代数学家关于圆周率的研究[J].数学通报.

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